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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
h) f(x)=3xln⁡(x)f(x)=3 x \ln (x)

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función f(x)=3xln⁡(x)f(x)=3 x \ln (x) siguiendo la estructura que vimos en las clases de Estudio de funciones\textbf{Estudio de funciones}: 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que lo de adentro del logaritmo sea mayor estricto que cero, es decir, x>0x > 0. 

Por lo tanto, el dominio de ff es (0,+∞)(0,+\infty).

2)\textbf{2)} Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es (0,+∞)(0,+\infty), el 00 es candidato a asíntota vertical. Tomamos límite cuando xx tiende a 00 por derecha para ver el comportamiento de la función:

lim⁡x→0+3xln⁡(x) \lim_{x \to 0^+} 3x \ln(x) Acordate que ln⁡(x)\ln(x) tiende a −∞-\infty cuando lo adentro tiende a cero, por lo tanto estamos frente a una indeterminación de tipo "0 x infinito". Fijate que en el curso les grabé un ejercicio de parcial donde ocurría exactamente esto. Como vimos en esa clase, para poder salvar esta indeterminación, primero vamos a reescribir f(x)f(x) de una manera conveniente para poder aplicar L'Hopital.
lim⁡x→0+ln⁡(x)13x\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{3x}} 

Ahora tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", impecable, aplicamos L'Hopital.
=lim⁡x→0+1x−13x2=lim⁡x→0+−3x2x=lim⁡x→0+−3x=0 = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{3x^2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-3x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} -3x = 0

Como el límite nos dio 00, entonces en x=0x=0 NO tenemos asíntota vertical (la función no se está yendo hacia infinito al acercarse a 00 por derecha)

- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a +∞+\infty (fijate que por el dominio de ff no tiene sentido tomar límite cuando xx tiende a −∞-\infty)

lim⁡x→+∞3xln⁡(x)=+∞ \lim_{x \to +\infty} 3x \ln(x) = +\infty

- Asíntotas oblicuas: Probá de calcular mm y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua.

3)\textbf{3)} Calculamos f′(x) f'(x) :

f′(x)=3ln⁡(x)+3x⋅1x f'(x) = 3 \ln(x) + 3x \cdot \frac{1}{x} f′(x)=3ln⁡(x)+3 f'(x) = 3 \ln(x) + 3

4)\textbf{4)}Igualamos f′(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: 

3ln⁡(x)+3=0 3 \ln(x) + 3 = 0 ln⁡(x)=−1 \ln(x) = -1 x=e−1=1e x = e^{-1} = \frac{1}{e}

Tenemos un punto crítico en x=1e x = \frac{1}{e} .

5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) 0<x<1e 0 < x < \frac{1}{e} b) x>1e x > \frac{1}{e}

6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f′(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:

a) Para 0<x<1e 0 < x < \frac{1}{e} , podemos elegir por ejemplo x=12e x = \frac{1}{2e}   f′(12e)<0 f'\left(\frac{1}{2e}\right) < 0 La función ff es decreciente

b) Para x>1e x > \frac{1}{e} , podemos elegir x=e x = e : f′(e)>0 f'(e) > 0 La función ff es creciente

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

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