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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
h) $f(x)=3 x \ln (x)$
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
h) $f(x)=3 x \ln (x)$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=3 x \ln (x)$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$:
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que lo de adentro del logaritmo sea mayor estricto que cero, es decir, $x > 0$.
Reportar problema
Por lo tanto, el dominio de $f$ es $(0,+\infty)$.
$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $(0,+\infty)$, el $0$ es candidato a asíntota vertical. Tomamos límite cuando $x$ tiende a $0$ por derecha para ver el comportamiento de la función:
$ \lim_{x \to 0^+} 3x \ln(x)$
Acordate que $\ln(x)$ tiende a $-\infty$ cuando lo adentro tiende a cero, por lo tanto estamos frente a una indeterminación de tipo "0 x infinito". Fijate que en el curso les grabé un ejercicio de parcial donde ocurría exactamente esto. Como vimos en esa clase, para poder salvar esta indeterminación, primero vamos a reescribir $f(x)$ de una manera conveniente para poder aplicar L'Hopital.
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{3x}}$
Ahora tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", impecable, aplicamos L'Hopital.
$ = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{3x^2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-3x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} -3x = 0$
Como el límite nos dio $0$, entonces en $x=0$ NO tenemos asíntota vertical (la función no se está yendo hacia infinito al acercarse a $0$ por derecha)
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $+\infty$ (fijate que por el dominio de $f$ no tiene sentido tomar límite cuando $x$ tiende a $-\infty$)
$ \lim_{x \to +\infty} 3x \ln(x) = +\infty $
- Asíntotas oblicuas: Probá de calcular $m$ y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua.
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
$ f'(x) = 3 \ln(x) + 3x \cdot \frac{1}{x} $
$ f'(x) = 3 \ln(x) + 3 $
$\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
$ 3 \ln(x) + 3 = 0 $
$ \ln(x) = -1 $
$ x = e^{-1} = \frac{1}{e}$
Tenemos un punto crítico en \( x = \frac{1}{e} \).
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( 0 < x < \frac{1}{e} \)
b) \( x > \frac{1}{e} \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
a) Para \( 0 < x < \frac{1}{e} \), podemos elegir por ejemplo \( x = \frac{1}{2e} \)
$ f'\left(\frac{1}{2e}\right) < 0 $
La función $f$ es decreciente
b) Para \( x > \frac{1}{e} \), podemos elegir \( x = e \):
$ f'(e) > 0 $
La función $f$ es creciente
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.